MatheuxMaths 3e · Brevet 2027 · Géométrie
Le théorème de Thalès au Brevet
Thalès permet de calculer une longueur quand deux droites sont parallèles, et sa réciproque permet de prouver qu’elles le sont. Tout repose sur une égalité de rapports bien écrite. Voici comment la poser sans erreur, dans les deux configurations.
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Mis à jour le 26 septembre 2026 · par Nicolas Follezou, fondateur de Matheux
Le théorème
Théorème de Thalès
Les points A, M, B sont alignés, les points A, N, C sont alignés, et les droites (MN) et (BC) sont parallèles. Alors AMAB = ANAC = MNBC.
Autrement dit, le petit triangle AMN est une réduction du grand triangle ABC : toutes les longueurs sont multipliées par le même coefficient. Pour ne pas se tromper, écris toujours les rapports dans le même ordre : petit triangle en haut, grand triangle en bas. Chaque rapport compare des côtés qui partent du même sommet A, ou qui se correspondent (MN et BC).
Calculer une longueur
Exercice 1 : triangles emboîtés
M est sur [AB] et N sur [AC], avec (MN) // (BC). On donne AM = 3, AB = 9, AC = 12 et BC = 15 (en cm). Calculer AN et MN.
Les points A, M, B et A, N, C sont alignés, et (MN) // (BC). D’après le théorème de Thalès : AMAB = ANAC = MNBC, soit 39 = AN12 = MN15.
AN = 12 × 3 ÷ 9 = 4 cm et MN = 15 × 3 ÷ 9 = 5 cm. Le coefficient de réduction est 39 = 13 : le petit triangle est trois fois plus petit.
La configuration papillon
Les deux droites se coupent en un point O, et les deux triangles sont de part et d’autre de O. Le théorème s’applique de la même façon. Il faut seulement bien associer chaque sommet à son correspondant.
Exercice 2
Les droites (AD) et (BC) se coupent en O. Les droites (AB) et (CD) sont parallèles. OA = 4, OD = 6 et OB = 5 (en cm). Calculer OC.
Les points A, O, D sont alignés, ainsi que B, O, C, et (AB) // (CD). D’après le théorème de Thalès : OAOD = OBOC = ABDC.
46 = 5OC, donc OC = 6 × 5 ÷ 4 = 7,5 cm.
La réciproque : prouver que deux droites sont parallèles
On calcule deux rapports séparément et on les compare. S’ils sont égaux, et si les points sont alignés dans le même ordre, les droites sont parallèles. S’ils sont différents, elles ne le sont pas.
Exercice 3
A, M, B sont alignés dans cet ordre, ainsi que A, N, C. AM = 2,4, AB = 6, AN = 3, AC = 7,5. Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ?
AMAB = 2,46 = 0,4 et ANAC = 37,5 = 0,4.
Les rapports sont égaux et les points sont alignés dans le même ordre. D’après la réciproque du théorème de Thalès, (MN) et (BC) sont parallèles.
Si on avait eu AN = 3,2, on aurait 3,27,5 ≈ 0,427 ≠ 0,4, et les droites ne seraient pas parallèles. Pour comparer, utilise les valeurs exactes (ou le produit en croix), pas des arrondis.
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Les erreurs les plus fréquentes
- Écrire AM/AB = AN/NCOn compare des côtés entiers partant de A : AN/AC, pas un morceau NC.
- Utiliser MB au lieu de ABColorie le petit et le grand triangle : [AB] est un côté du grand, pas [MB].
- Appliquer Thalès sans droites parallèlesÉcris l’hypothèse (MN) // (BC) avant toute égalité.
- Mal isoler l’inconnue3/9 = AN/12 donne AN = 12 × 3 ÷ 9. Vérifie l’ordre de grandeur : AN est plus petit que AC.
- Mal associer les segments en papillonFais « tourner » le petit triangle : chaque sommet a son correspondant de l’autre côté de O.
- « Agrandir, c’est ajouter la même longueur »Agrandir, c’est multiplier toutes les longueurs par le même nombre.
- Conclure avec un seul rapport, ou avec des rapports arrondisDeux rapports, calculés exactement, puis comparés.
Questions fréquentes
Comment appliquer le théorème de Thalès ?
Vérifie les deux conditions : deux droites sécantes, et deux droites parallèles qui les coupent. Écris les trois rapports égaux (petit triangle sur grand triangle), remplace par les longueurs connues, puis isole l’inconnue avec un produit en croix.
Quelle est la réciproque du théorème de Thalès ?
Si les points A, M, B et A, N, C sont alignés dans le même ordre, et si AM/AB = AN/AC, alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles. On l’utilise pour prouver un parallélisme.
Quelle différence entre Thalès et Pythagore ?
Pythagore s’utilise dans un triangle rectangle et relie les trois côtés. Thalès s’utilise avec deux droites parallèles et relie les côtés de deux triangles, dont l’un est une réduction de l’autre. Un même exercice de Brevet peut enchaîner les deux.
Qu’est-ce que la configuration papillon ?
C’est quand les deux triangles sont de part et d’autre du point d’intersection O des deux droites, comme les ailes d’un papillon. Les rapports s’écrivent de la même façon, avec O comme sommet commun.