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Maths 3e · Brevet 2027 · Probabilités

Les probabilités au Brevet : méthodes et exercices

En probabilités, les calculs sont simples. La difficulté est de bien modéliser : quelles sont les issues, sont-elles équiprobables, faut-il un arbre ? Voici la méthode pour chaque type de question, et les pièges de raisonnement les plus courants.

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Mis à jour le 26 septembre 2026 · par Nicolas Follezou, fondateur de Matheux

Le vocabulaire

  • Une expérience aléatoire a plusieurs résultats possibles, qu’on ne peut pas prévoir : lancer un dé, tirer une carte.
  • Chaque résultat est une issue : pour un dé, 1, 2, 3, 4, 5 ou 6.
  • Un événement est un ensemble d’issues : « obtenir un nombre pair » = {2 ; 4 ; 6}.
  • Le contraire de A, noté « non A », contient toutes les issues qui ne sont pas dans A.

Calculer une probabilité

À retenir

  • Si toutes les issues ont la même chance (équiprobabilité) : P(A) = nombre d’issues favorablesnombre total d’issues.
  • Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1.
  • P(non A) = 1 − P(A).
  • Si A et B ne peuvent pas se produire en même temps : P(A ou B) = P(A) + P(B).

Attention, « gagner ou perdre » ne fait pas forcément une chance sur deux : il faut compter les issues réellement équiprobables.

Deux épreuves : l’arbre

Quand on enchaîne deux expériences (deux tirages, un dé puis une pièce), on dessine un arbre ou un tableau à double entrée. Deux règles :

  • le long d’une branche, on multiplie les probabilités ;
  • pour un événement qui correspond à plusieurs chemins, on additionne les chemins.

Si le tirage se fait sans remise, le contenu du sac change pour la deuxième épreuve : il faut le mettre à jour sur l’arbre.

Fréquence et probabilité

Si on lance une pièce 20 fois et qu’on obtient 13 piles, la fréquence observée de pile est 1320 = 0,65. La probabilité, elle, reste 0,5. Quand on répète l’expérience un grand nombre de fois, la fréquence se rapproche de la probabilité. Sur peu d’essais, elle peut en être loin. Et le hasard n’a pas de mémoire : après 5 piles de suite, la probabilité d’obtenir pile au lancer suivant est toujours 0,5.

Exercices corrigés

Exercice 1 : un tirage

Un sac contient 3 boules rouges, 2 vertes et 5 bleues, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard. Calculer la probabilité de tirer une boule rouge, puis celle de ne pas tirer une boule bleue.

Correction

Il y a 3 + 2 + 5 = 10 boules, et chaque boule a la même chance d’être tirée. P(rouge) = 310 = 0,3.

P(bleue) = 510, donc P(non bleue) = 1 − 510 = 12. On peut vérifier : il y a 5 boules non bleues sur 10.

Exercice 2 : deux tirages sans remise (type Brevet)

Un sac contient 3 boules rouges et 2 vertes. On tire une boule, on ne la remet pas, puis on en tire une seconde. Calculer la probabilité d’obtenir deux boules rouges, puis deux boules de la même couleur.

Correction

Premier tirage : P(R) = 35. S’il est rouge, il reste 2 rouges sur 4 boules : P(R au 2e) = 24.

P(RR) = 35 × 24 = 620 = 310.

De même, P(VV) = 25 × 14 = 220 = 110. Deux boules de même couleur : 310 + 110 = 410 = 25.

Exercice 3 : deux dés

On lance deux dés équilibrés et on additionne les résultats. La somme 7 a-t-elle la même probabilité que la somme 2 ?

Correction

Un tableau à double entrée donne 6 × 6 = 36 issues équiprobables (les couples). La somme 7 est obtenue par 6 couples : (1 ; 6), (2 ; 5), (3 ; 4), (4 ; 3), (5 ; 2), (6 ; 1). Donc P(7) = 636 = 16. La somme 2 n’est obtenue que par (1 ; 1) : P(2) = 136.

Non : les onze sommes possibles (de 2 à 12) ne sont pas équiprobables.

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Les erreurs les plus fréquentes

  • 3 rouges et 5 bleues, donc P(rouge) = 3/5On divise par le nombre total de boules : 38.
  • Donner une probabilité supérieure à 1Une probabilité est entre 0 et 1. Au-delà, le calcul est faux.
  • P(non A) = 1/P(A) ou −P(A)P(non A) = 1 − P(A).
  • Additionner le long d’une brancheLe long d’une branche on multiplie, entre les branches on additionne.
  • Oublier que le tirage est sans remiseMets à jour le contenu du sac pour le 2e tirage.
  • Dé + pièce : 6 + 2 = 8 issuesIl y a 6 × 2 = 12 issues : fais un tableau ou un arbre.
  • « Après 5 échecs, je vais forcément gagner »Chaque lancer est indépendant, le dé n’a pas de mémoire.

Questions fréquentes

Comment calculer une probabilité ?

Si toutes les issues ont la même chance de se produire, divise le nombre d’issues favorables par le nombre total d’issues. Pour 2 boules rouges sur 8, la probabilité est 2/8 = 1/4.

Quand faut-il faire un arbre ?

Dès que l’expérience comporte deux étapes ou plus : deux tirages, un dé puis une pièce, deux lancers. L’arbre permet de ne pas oublier d’issue. On multiplie le long des branches et on additionne les chemins.

Quelle est la différence entre fréquence et probabilité ?

La fréquence est observée après avoir fait l’expérience (13 piles sur 20 lancers). La probabilité est théorique (1/2 pour pile). Plus on répète l’expérience, plus la fréquence se rapproche de la probabilité.

Une probabilité peut-elle s’écrire en pourcentage ?

Oui : 0,3, 3/10 et 30 % désignent la même probabilité. Donne la forme demandée par l’énoncé, et à défaut une fraction simplifiée.

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