MatheuxMaths 3e · Brevet 2027 · Géométrie
Le théorème de Pythagore au Brevet
Pythagore revient très souvent au Brevet : calculer une longueur dans un triangle rectangle, ou prouver qu’un triangle est (ou n’est pas) rectangle. La formule, tout le monde la connaît. Ce qui fait la différence, c’est de savoir laquelle des trois utiliser et comment la rédiger.
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Mis à jour le 26 septembre 2026 · par Nicolas Follezou, fondateur de Matheux
Le théorème
Théorème de Pythagore
Si un triangle ABC est rectangle en A, alors BC² = AB² + AC². [BC] est l’hypoténuse : le côté en face de l’angle droit, et le plus long des trois.
Le théorème relie des carrés de longueurs, pas les longueurs elles-mêmes. Géométriquement, l’aire du carré construit sur l’hypoténuse est égale à la somme des aires des carrés construits sur les deux autres côtés. C’est pour cela que 3 + 4 ≠ 5, alors que 3² + 4² = 5².
Calculer une longueur
Exercice 1 : calculer l’hypoténuse
ABC est rectangle en A, avec AB = 6 cm et AC = 8 cm. Calculer BC.
Le triangle ABC est rectangle en A. D’après le théorème de Pythagore : BC² = AB² + AC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100.
Donc BC = √100 = 10. BC mesure 10 cm. Contrôle : 10 est plus grand que 8 (c’est le plus long côté) et plus petit que 6 + 8 = 14.
Exercice 2 : calculer un côté de l’angle droit
EFG est rectangle en E, avec FG = 13 cm et EF = 5 cm. Calculer EG.
L’hypoténuse est [FG]. D’après le théorème de Pythagore : FG² = EF² + EG², donc EG² = FG² − EF² = 169 − 25 = 144.
EG = √144 = 12. EG mesure 12 cm. Quand on cherche un petit côté, on soustrait.
Si le résultat n’est pas un carré parfait, on donne la valeur exacte avec une racine carrée (√13), puis une valeur arrondie si l’énoncé la demande.
Réciproque et contraposée
Pour savoir si un triangle est rectangle, on ne peut pas utiliser le théorème lui-même, puisqu’il suppose que le triangle est déjà rectangle. On compare deux calculs :
- d’un côté, le carré du plus grand côté ;
- de l’autre, la somme des carrés des deux autres côtés.
S’ils sont égaux, le triangle est rectangle : c’est la réciproque. S’ils sont différents, le triangle n’est pas rectangle : c’est la contraposée. Des nombres « proches » ne suffisent pas, il faut une égalité exacte.
Exercice 3 : rectangle ou pas ?
Triangle RST : RS = 8, ST = 15, RT = 17. Triangle UVW : UV = 6, VW = 9, UW = 11. Ces triangles sont-ils rectangles ?
RST : le plus grand côté est [RT]. RT² = 289 et RS² + ST² = 64 + 225 = 289. Comme RT² = RS² + ST², d’après la réciproque du théorème de Pythagore, RST est rectangle en S (le sommet opposé au plus grand côté).
UVW : UW² = 121 et UV² + VW² = 36 + 81 = 117. Comme 121 ≠ 117, d’après la contraposée du théorème de Pythagore, UVW n’est pas rectangle.
La rédaction attendue au Brevet
Modèle à recopier
« Le triangle ABC est rectangle en A. D’après le théorème de Pythagore, BC² = AB² + AC². […] Donc BC = √… ≈ … cm. »
Les trois éléments qui rapportent des points : l’hypothèse (rectangle en quel point), le nom du théorème (direct, réciproque ou contraposée), et une conclusion avec l’unité. L’épreuve évalue aussi les démarches, même quand elles n’aboutissent pas : écris ce que tu as commencé.
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Les erreurs les plus fréquentes
- Additionner les côtés (3 + 4 = 7)Pythagore porte sur les carrés : 3² + 4² = 25, donc 5.
- Oublier la racine à la fin (BC = 100)BC² = 100, donc BC = √100 = 10.
- Écrire √(a² + b²) = a + bCalcule d’abord la somme des carrés, puis la racine du total.
- Additionner quand on cherche un petit côté (13² + 5²)Petit côté : hypoténuse² − autre côté².
- Mal repérer l’hypoténuseElle est en face de l’angle droit. C’est toujours le plus long côté.
- Utiliser le théorème pour prouver qu’un triangle est rectangleOn calcule séparément, on compare, puis on cite la réciproque.
- Conclure « rectangle » parce que 289 et 290 sont prochesL’égalité doit être exacte. Sinon, il n’est pas rectangle.
- Confondre carré et double (9² = 18)Erreur de puissances (4e), à retravailler en premier.
La dernière erreur est typique d’une cause racine : l’élève « rate Pythagore » alors que c’est le carré qui n’est pas acquis. C’est exactement ce que le diagnostic Matheux cherche à débusquer.
Questions fréquentes
Comment utiliser le théorème de Pythagore ?
Vérifie que le triangle est rectangle et repère l’hypoténuse (en face de l’angle droit). Écris l’égalité hypoténuse² = côté² + côté², remplace les longueurs connues, calcule, puis prends la racine carrée. Termine par une phrase avec l’unité.
Quelle est la différence entre Pythagore et sa réciproque ?
Le théorème part d’un triangle rectangle pour calculer une longueur. La réciproque part de trois longueurs connues pour prouver qu’un triangle est rectangle. Au Brevet, il faut citer celui qu’on utilise.
Comment montrer qu’un triangle n’est pas rectangle ?
Calcule le carré du plus grand côté, puis la somme des carrés des deux autres. S’ils sont différents, d’après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle n’est pas rectangle.
Faut-il donner une valeur exacte ou arrondie ?
Suis la consigne. Sans précision, donne la valeur exacte (par exemple √13 cm) puis, si c’est utile, une valeur approchée (≈ 3,6 cm) en précisant l’arrondi.