MatheuxMaths 3e · Nombres et calculs
Arithmétique en 3e : nombres premiers et décomposition
Multiples, diviseurs, nombres premiers : l’arithmétique paraît simple, mais au Brevet elle sert à résoudre de vrais problèmes de partage et à simplifier des fractions. La méthode tient en une idée : décomposer en facteurs premiers.
Tester mon niveau gratuitement →~8 min · 15 questions · sans carte bancaire
Mis à jour le 26 septembre 2026 · par Nicolas Follezou, fondateur de Matheux
Multiples, diviseurs et division euclidienne
36 = 4 × 9 : on dit que 36 est un multiple de 4, et que 4 est un diviseur de 36. La phrase modèle évite de confondre les deux mots.
Critères de divisibilité
- par 2 : le dernier chiffre est pair ; par 5 : il finit par 0 ou 5 ; par 10 : il finit par 0 ;
- par 3 : la somme des chiffres est divisible par 3 ; par 9 : elle est divisible par 9 ;
- par 4 : le nombre formé par les deux derniers chiffres est divisible par 4.
La division euclidienne de a par b s’écrit a = b × q + r avec 0 ≤ r < b. Exemple : 42 = 5 × 8 + 2. Le quotient est 8 et le reste est 2. Le reste n’est pas la partie décimale de 42 ÷ 5 = 8,4.
Nombres premiers
Définition
Un nombre premier a exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même. Les nombres premiers inférieurs à 50 sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.
- 1 n’est pas premier : il n’a qu’un seul diviseur.
- 2 est premier, et c’est le seul nombre premier pair.
- Un nombre impair n’est pas forcément premier : 21 = 3 × 7, 91 = 7 × 13.
Pour tester si n est premier, on essaie de le diviser par les nombres premiers 2, 3, 5, 7, 11… jusqu’à ce que leur carré dépasse n. Si aucune division ne tombe juste, n est premier.
Décomposer en produit de facteurs premiers
Tout entier supérieur ou égal à 2 s’écrit comme un produit de nombres premiers, et cette écriture est unique (à l’ordre près). On divise successivement par 2, puis 3, puis 5… tant que c’est possible.
360 = 2 × 180 = 2 × 2 × 90 = 2 × 2 × 2 × 45 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5, donc 360 = 2³ × 3² × 5. On vérifie en recalculant : 8 × 9 × 5 = 360 ✓.
La décomposition sert à trouver des diviseurs communs et à simplifier une fraction jusqu’à la forme irréductible (voir fractions).
Exercices corrigés
Exercice 1 : premier ou pas ?
Les nombres 97 et 119 sont-ils premiers ?
97 : il n’est divisible ni par 2, ni par 3 (somme des chiffres 16), ni par 5, ni par 7 (7 × 13 = 91, 7 × 14 = 98). Comme 11² = 121 > 97, on peut s’arrêter : 97 est premier.
119 : pas divisible par 2, 3 ou 5, mais 119 = 7 × 17. 119 n’est pas premier.
Exercice 2 : simplifier une fraction
Rendre irréductible la fraction 84120.
84 = 2² × 3 × 7 et 120 = 2³ × 3 × 5. Les facteurs communs sont 2² × 3 = 12.
84120 = 12 × 712 × 10 = 710. 7 et 10 n’ont plus de diviseur commun autre que 1.
Exercice 3 : problème de partage (type Brevet)
Un fleuriste a 60 tulipes et 96 roses. Il veut composer le plus grand nombre possible de bouquets identiques, en utilisant toutes les fleurs. Combien de bouquets peut-il faire, et que contient chaque bouquet ?
Le nombre de bouquets doit diviser 60 et 96 : on cherche le plus grand diviseur commun.
60 = 2² × 3 × 5 et 96 = 2⁵ × 3. On garde les facteurs communs avec le plus petit exposant : 2² × 3 = 12.
Il peut faire 12 bouquets, contenant chacun 60 ÷ 12 = 5 tulipes et 96 ÷ 12 = 8 roses.
Et toi, où tu en es ?
Le diagnostic Matheux teste tes compétences de 3e et remonte aux notions des années précédentes quand c’est là que ça coince. Tu obtiens ta carte de compétences, puis 5 exercices par jour sur tes vrais points faibles.
Faire le diagnostic gratuit →~8 min · 15 questions · sans carte bancaire
Les erreurs les plus fréquentes
- « 23 est divisible par 3 car il finit par 3 »Par 3 et par 9, on regarde la somme des chiffres : 2 + 3 = 5, donc non.
- « 36 est un diviseur de 4 »36 = 4 × 9 : 36 est un multiple de 4, et 4 est un diviseur de 36.
- 42 ÷ 5 = 8,4, donc le reste est 442 = 5 × 8 + 2 : le reste est 2, toujours plus petit que le diviseur.
- « 1 est premier »Un nombre premier a exactement deux diviseurs. 1 n’en a qu’un.
- Arrêter le test après 2, 3 et 5 (et déclarer 91 premier)Continuer avec 7, 11, 13… : 91 = 7 × 13.
- 126 = 2 × 9 × 79 n’est pas premier : 126 = 2 × 3² × 7.
- Prendre les plus grands exposants pour un diviseur communUn diviseur commun ne peut pas avoir plus de facteurs que chacun des nombres : on prend le plus petit exposant.
- Donner le nombre de fleurs par bouquet quand on demande le nombre de bouquetsRelire la question et répondre par une phrase avec l’unité.
Questions fréquentes
Le nombre 1 est-il un nombre premier ?
Non. Un nombre premier a exactement deux diviseurs distincts, 1 et lui-même. Le nombre 1 n’a qu’un seul diviseur, lui-même. Le plus petit nombre premier est 2.
Comment savoir rapidement si un nombre est premier ?
Essaie de le diviser par 2, 3, 5, 7, 11, 13… Tu peux t’arrêter dès que le carré du diviseur testé dépasse le nombre. Par exemple, pour 97, on s’arrête après 7 car 11² = 121 est plus grand que 97.
À quoi sert la décomposition en facteurs premiers ?
À trouver les diviseurs communs de deux nombres, donc à résoudre des problèmes de partage équitable, et à simplifier une fraction jusqu’à la forme irréductible.
Qu’est-ce que le PGCD ?
C’est le plus grand diviseur commun à deux nombres. Pour 60 et 96, c’est 12. On l’obtient en multipliant les facteurs premiers communs aux deux décompositions, chacun avec son plus petit exposant.