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Maths 3e · Nombres et calculs

La racine carrée en 3e, sans se tromper

√25 = 5, parce que 5 × 5 = 25. La racine carrée est l’opération inverse du carré. Elle sert dans presque tous les exercices de Pythagore. Voici ce qu’il faut savoir, et les deux ou trois erreurs qui coûtent le plus cher.

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Mis à jour le 26 septembre 2026 · par Nicolas Follezou, fondateur de Matheux

Définition

À retenir

Pour un nombre a ≥ 0, √a est le nombre positif dont le carré est a. Autrement dit, (√a)² = a et √a ≥ 0.

  • √49 = 7 car 7² = 49 et 7 ≥ 0.
  • √0 = 0 et √1 = 1.
  • √(−9) n’existe pas : aucun nombre au carré ne donne un résultat négatif.

Prendre la racine carrée n’est pas diviser par 2 : √64 = 8, pas 32.

Les carrés parfaits à connaître

n123456789101112131415
n²149162536496481100121144169196225

Les connaître par cœur permet de calculer sans calculatrice, dans la partie automatismes du Brevet, et d’encadrer une racine : comme 25 < 30 < 36, on a 5 < √30 < 6. C’est aussi un bon moyen de contrôler un résultat de calculatrice.

Avec les décimaux, on compte les décimales : √0,25 = 0,5 car 0,5 × 0,5 = 0,25. Et √0,09 = 0,3.

Règles de calcul

  • √a × √b = √(a × b) : √8 × √2 = √16 = 4.
  • √a ÷ √b = √(a ÷ b) (avec b > 0) : √(9/16) = 3/4.
  • √a × √a = a : √2 × √2 = 2.
  • Pas de règle pour la somme : √9 + √16 = 3 + 4 = 7, alors que √(9 + 16) = √25 = 5.

Pour aller plus loin : écrire √50 = √(25 × 2) = 5√2, c’est simplifier une racine. Cette technique va au-delà des attendus du Brevet, mais elle resservira au lycée.

Exercices corrigés

Exercice 1 : sans calculatrice

Calculer √144, √0,49, √3 × √12 et (√7)².

Correction

√144 = 12 ; √0,49 = 0,7 ; √3 × √12 = √36 = 6 ; (√7)² = 7.

Exercice 2 : encadrer

Encadrer √70 entre deux entiers consécutifs, puis en donner une valeur approchée au dixième.

Correction

64 < 70 < 81, donc 8 < √70 < 9. À la calculatrice, √70 ≈ 8,37, soit √70 ≈ 8,4 au dixième. Le résultat est bien entre 8 et 9.

Exercice 3 : avec Pythagore

Un triangle ABC est rectangle en A, avec AB = 2 cm et AC = 3 cm. Calculer BC, en valeur exacte puis arrondie au millimètre.

Correction

D’après le théorème de Pythagore : BC² = AB² + AC² = 4 + 9 = 13.

BC est une longueur, donc positive : BC = √13 cm (valeur exacte), soit BC ≈ 3,6 cm. Vérification : 3,6 est bien plus grand que 3 (l’hypoténuse est le plus long côté) et plus petit que 2 + 3 = 5.

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Les erreurs les plus fréquentes

  • √64 = 32Ce n’est pas une division par 2 : 8 × 8 = 64, donc √64 = 8.
  • AC² = 25, donc AC = 25Il faut finir le calcul : AC = √25 = 5.
  • √9 + √16 = √25La racine ne se distribue pas sur une somme : 7 ≠ 5.
  • √8 × √2 = √10On multiplie sous la racine : √16 = 4.
  • √(−9) = −3√a n’existe que pour a ≥ 0, et c’est toujours un nombre positif.
  • √(a² + b²) = a + bOn calcule la somme des carrés d’abord, puis la racine du total.

Questions fréquentes

Pourquoi la racine carrée d’un nombre négatif n’existe-t-elle pas ?

Parce qu’un carré n’est jamais négatif : un nombre positif ou négatif multiplié par lui-même donne toujours un résultat positif (ou nul). Aucun nombre n’a donc un carré égal à −9.

√(x²) est-il toujours égal à x ?

Seulement si x est positif ou nul. Pour x = −3, √((−3)²) = √9 = 3, qui est l’opposé de x. En 3e, les racines servent surtout à calculer des longueurs, qui sont positives.

Comment calculer une racine carrée sans calculatrice ?

Si le nombre est un carré parfait (1, 4, 9, 16, 25…), on reconnaît la racine. Sinon, on l’encadre entre deux carrés parfaits : 40 est entre 36 et 49, donc √40 est entre 6 et 7.

Quelle est la différence entre x² = 25 et x = √25 ?

x² = 25 est une équation qui a deux solutions, 5 et −5. En revanche, √25 désigne un seul nombre, 5, toujours positif.

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