MatheuxMaths 3e · Organisation et gestion de données, fonctions
Fonctions en 3e : image et antécédent, enfin clairs
Une fonction est une machine : on y entre un nombre, elle en ressort un autre. Tout le chapitre repose sur une seule distinction, entre l’entrée et la sortie. Une fois qu’elle est claire, les questions du Brevet deviennent mécaniques.
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Mis à jour le 26 septembre 2026 · par Nicolas Follezou, fondateur de Matheux
Image et antécédent : la seule chose à comprendre
Vocabulaire
- f(3) = 2 se lit « f de 3 égale 2 ».
- 2 est l’image de 3 par f : c’est la sortie.
- 3 est un antécédent de 2 par f : c’est l’entrée.
Un nombre a une seule image. En revanche, un nombre peut avoir plusieurs antécédents, ou aucun. C’est pour cela qu’on dit « l’image » mais « un antécédent ».
Attention, f(5) n’est pas « f fois 5 ». C’est ce que la machine f donne quand on y entre 5.
Avec une formule : calculer
Pour une image, on remplace x par le nombre, entre parenthèses, puis on calcule. Pour un antécédent, on écrit l’équation f(x) = k et on la résout.
Exercice 1 : calculer une image
Soit f(x) = x² − 2x − 1. Calculer f(3) et f(−2).
f(3) = 3² − 2 × 3 − 1 = 9 − 6 − 1 = 2. L’image de 3 est 2.
f(−2) = (−2)² − 2 × (−2) − 1 = 4 + 4 − 1 = 7. Les parenthèses autour de −2 évitent l’erreur −2² = −4.
Exercice 2 : antécédent par le calcul
Soit g(x) = 3x − 7. Déterminer l’antécédent de 11 par g. Puis, pour h(x) = x² − 9, déterminer les antécédents de 0.
On résout 3x − 7 = 11 : 3x = 18, donc x = 6. Vérification : g(6) = 18 − 7 = 11 ✓. L’antécédent de 11 est 6.
On résout x² − 9 = 0, soit x² = 9 : x = 3 ou x = −3. 0 a deux antécédents : 3 et −3. (Voir équation x² = a.)
Avec un tableau de valeurs : lire
| x | −1 | 0 | 2 | 5 |
|---|---|---|---|---|
| k(x) | 4 | 1 | −5 | 1 |
La première ligne contient les entrées, la seconde les sorties. L’image de 2 est −5 : on part de 2 sur la ligne du haut. Les antécédents de 1 sont 0 et 5 : on part de 1 sur la ligne du bas, et on relève toutes les colonnes où il apparaît.
Sur un graphique : lire sur les bons axes
Courbe de f(x) = x² − 2x − 1. Un carreau = 1 unité.
- Image de 3 : on part de 3 sur l’axe horizontal (abscisses), on monte jusqu’à la courbe (point A), puis on lit sur l’axe vertical : f(3) = 2.
- Antécédents de 2 : on part de 2 sur l’axe vertical (ordonnées), on trace la droite horizontale y = 2 et on relève tous les points d’intersection : A et B. Les antécédents de 2 sont 3 et −1.
Avant toute lecture, vérifie la graduation : un carreau ne vaut pas toujours 1. Une lecture graphique donne souvent une valeur approchée. Si l’énoncé donne la formule, le calcul permet de confirmer : f(−1) = 1 + 2 − 1 = 2 ✓.
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Les erreurs les plus fréquentes
- Lire f(5) comme « f × 5 »f(5) est la sortie quand on entre 5 dans la machine f.
- Répondre l’antécédent quand on demande l’imageImage = sortie, antécédent = entrée. Écris « f(… ) = … » et place chaque nombre.
- Partir de l’axe vertical pour lire une imageImage : on part de l’axe horizontal. Antécédent : on part de l’axe vertical.
- Ne donner qu’un antécédentTrace la droite horizontale en entier et relève toutes les intersections.
- Calculer g(27) au lieu de résoudre g(x) = 27« Antécédent de 27 » : 27 est la sortie. On écrit l’équation g(x) = 27.
- Supposer qu’un carreau vaut 1Repère la valeur d’une graduation avant de lire quoi que ce soit.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre image et antécédent ?
L’image est le nombre qui sort de la fonction, l’antécédent est le nombre qui y entre. Si f(4) = 10, alors 10 est l’image de 4 et 4 est un antécédent de 10.
Un nombre peut-il avoir plusieurs images ?
Non. Par une fonction, chaque nombre a une seule image. En revanche, un nombre peut avoir plusieurs antécédents, ou aucun. Par exemple, pour f(x) = x², le nombre 9 a deux antécédents (3 et −3) et le nombre −1 n’en a aucun.
Comment trouver un antécédent sur un graphique ?
Place le nombre sur l’axe vertical, trace une droite horizontale à cette hauteur, et relève l’abscisse de chaque point où elle coupe la courbe. Chaque abscisse est un antécédent.
Quelle est la différence avec une fonction affine ?
Une fonction affine est un cas particulier de fonction, de la forme f(x) = ax + b, dont la courbe est une droite. Le vocabulaire image et antécédent s’applique de la même façon.