MatheuxMaths 3e · Nombres et calculs
Calcul littéral en 3e : développer et factoriser sans se tromper
Développer, c’est transformer un produit en somme. Factoriser, c’est l’inverse. Tout le calcul littéral de 3e tient en cinq formules et quelques réflexes de vérification. Les voici, avec des exercices corrigés pas à pas.
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Mis à jour le 26 septembre 2026 · par Nicolas Follezou, fondateur de Matheux
L’essentiel à retenir
Les 5 formules
- Simple distributivité : k(a + b) = ka + kb
- Double distributivité : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
- (a + b)² = a² + 2ab + b²
- (a − b)² = a² − 2ab + b²
- (a − b)(a + b) = a² − b²
Ces formules se lisent dans les deux sens. De gauche à droite, on développe. De droite à gauche, on factorise. Une lettre comme x représente un nombre : tout ce qui est vrai pour les nombres l’est pour les lettres.
Développer une expression
Développer, c’est supprimer les parenthèses pour écrire l’expression sous forme de somme, puis réduire : regrouper les termes de même nature (les x² ensemble, les x ensemble, les nombres ensemble).
La méthode en 3 temps
- Repère la forme : un facteur devant une parenthèse, deux parenthèses, ou une identité remarquable.
- Fais tous les produits en écrivant chaque signe. Avec deux parenthèses, il y a 4 produits.
- Réduis, puis vérifie en remplaçant x par une valeur simple (par exemple x = 1) dans l’expression de départ et dans ton résultat. Si les deux valeurs diffèrent, il y a une erreur.
Le piège du signe moins devant une parenthèse
−(x − 3) = −x + 3 : le moins change le signe de chaque terme. Quand on soustrait un produit, par exemple A − (x + 1)(x − 4), on développe d’abord le produit en gardant les parenthèses, puis on distribue le moins.
Factoriser une expression
Factoriser, c’est écrire l’expression sous forme de produit. On le fait surtout pour résoudre une équation produit nul (voir la page équations).
1. Chercher un facteur commun
6x + 18 = 6(x + 3) : on met en facteur le plus grand facteur commun. x² + x = x(x + 1) : quand un terme part entièrement, il reste 1.
Le facteur commun peut être une parenthèse entière : (x + 2)(3x − 1) + (x + 2)(x + 5) a le facteur commun (x + 2).
2. Reconnaître a² − b²
Une différence de deux carrés se factorise toujours : x² − 16 = x² − 4² = (x − 4)(x + 4). Écris d’abord chaque terme comme un carré, c’est ce qui évite les erreurs. Une somme de carrés comme x² + 9 ne se factorise pas de cette façon.
Dans tous les cas, redéveloppe ton résultat : tu dois retomber sur l’expression de départ.
Exercices corrigés
Exercice 1 : développer et réduire
Développer et réduire A = (2x − 3)² − (x + 1)(x − 4).
- Identité remarquable : (2x − 3)² = (2x)² − 2 × 2x × 3 + 3² = 4x² − 12x + 9.
- Double distributivité : (x + 1)(x − 4) = x² − 4x + x − 4 = x² − 3x − 4.
- On soustrait le bloc entier : A = 4x² − 12x + 9 − (x² − 3x − 4) = 4x² − 12x + 9 − x² + 3x + 4.
- On réduit : A = 3x² − 9x + 13.
- Vérification avec x = 1 : au départ (−1)² − 2 × (−3) = 1 + 6 = 7 ; à l’arrivée 3 − 9 + 13 = 7. ✓
Exercice 2 : factoriser
Factoriser B = 9x² − 25 puis C = (x + 2)(3x − 1) + (x + 2)(x + 5).
B = (3x)² − 5², c’est la forme a² − b² avec a = 3x et b = 5. Donc B = (3x − 5)(3x + 5).
Dans C, le facteur commun est (x + 2) : C = (x + 2)[(3x − 1) + (x + 5)] = (x + 2)(4x + 4). On peut aller plus loin : 4x + 4 = 4(x + 1), donc C = 4(x + 2)(x + 1).
Exercice 3 : prouver avec le calcul littéral (type Brevet)
Programme de calcul : choisir un nombre entier, lui ajouter 3, élever le résultat au carré, puis soustraire le carré du nombre de départ. Montrer que le résultat est toujours un multiple de 3.
On appelle n le nombre de départ. Le programme donne (n + 3)² − n².
(n + 3)² − n² = n² + 6n + 9 − n² = 6n + 9 = 3(2n + 3).
Comme 2n + 3 est un entier, le résultat est 3 fois un entier : c’est un multiple de 3. Tester avec 2 ou 3 nombres ne suffit pas pour prouver. Il faut passer par la lettre, puis conclure par une phrase.
Et toi, où tu en es ?
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Les erreurs les plus fréquentes
Ce sont les erreurs que le diagnostic Matheux repère le plus souvent en calcul littéral. Chacune a une cause précise, et un moyen simple de l’éviter.
- 4(x + 3) = 4x + 3Le facteur multiplie chaque terme : 4x + 12.
- −2(3x − 4) = −6x − 8(−2) × (−4) = +8 : règle des signes terme à terme.
- (x + 2)(x + 3) = x² + 6Il y a 4 produits, pas 2 : x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6.
- (a + b)² = a² + b²Oubli du double produit. Contre-exemple : (1 + 2)² = 9, alors que 1² + 2² = 5.
- (3x − 2)² = 3x² − …(3x)² = 3x × 3x = 9x² : le coefficient est aussi au carré.
- x + x = x² ou 3x + 2 = 5xx + x = 2x ; on n’additionne que des termes de même famille.
- x² − 16 = (x − 4)²a² − b² = (a − b)(a + b) : (x − 4)(x + 4).
- « Je l’ai testé avec 3 nombres, donc c’est prouvé »Un exemple peut montrer qu’une affirmation est fausse, jamais qu’elle est toujours vraie.
Le calcul littéral au Brevet
Le calcul littéral sert dans presque tous les sujets, même quand ce n’est pas le thème de l’exercice : programme de calcul, aire d’une figure en fonction de x, résolution d’équation, fonction affine. Dans la partie automatismes (sans calculatrice), on peut te demander un développement rapide ou une factorisation simple. Dans la partie raisonnement, on attend souvent une preuve comme dans l’exercice 3 : écrire l’expression avec une lettre, la transformer, puis conclure par une phrase.
Si les développements te coûtent des points, la cause est souvent plus ancienne : règle des signes (5e), carrés (4e) ou réduction. C’est justement ce que le diagnostic cherche à identifier.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre développer et factoriser ?
Développer transforme un produit en somme : 3(x + 2) devient 3x + 6. Factoriser fait l’inverse : 3x + 6 devient 3(x + 2). On développe pour simplifier ou comparer des expressions, et on factorise pour résoudre une équation produit nul.
Comment savoir s’il faut utiliser une identité remarquable ?
Pour développer : un carré de parenthèse, comme (x + 5)², ou un produit (a − b)(a + b). Pour factoriser : trois termes dont deux sont des carrés (x² + 6x + 9), ou une différence de deux carrés (x² − 49).
Comment vérifier un développement ?
Remplace x par une valeur simple (1 ou 2) dans l’expression de départ et dans ton résultat. Si tu obtiens deux nombres différents, il y a une erreur. Si tu obtiens le même nombre, c’est très probablement juste : ce test ne prouve rien, mais il détecte la plupart des erreurs.
Faut-il apprendre les identités remarquables par cœur ?
Oui, les trois. Si tu en oublies une le jour J, tu peux la retrouver : (a + b)² = (a + b)(a + b), il suffit de faire les 4 produits.