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Maths 3e · Fonctions

Fonction affine et fonction linéaire en 3e

f(x) = ax + b : deux nombres suffisent à décrire la fonction. Au Brevet, on te demande de les interpréter (un forfait, un prix par unité), de tracer la droite ou de comparer deux offres. Voici comment faire, exemples corrigés à l’appui.

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Mis à jour le 26 septembre 2026 · par Nicolas Follezou, fondateur de Matheux

Définitions

À retenir

  • Fonction affine : f(x) = ax + b, où a et b sont deux nombres fixés.
  • Fonction linéaire : le cas b = 0, soit f(x) = ax. Elle traduit une situation de proportionnalité, de coefficient a.
  • Une fonction affine est représentée par une droite. Si elle est linéaire, la droite passe par l’origine.

f(x) = 3x − 5 est affine (a = 3, b = −5). g(x) = −x est linéaire (a = −1). En revanche, h(x) = x² + 1 et k(x) = 3/x ne sont pas affines : dans une fonction affine, x n’apparaît qu’à la puissance 1 et jamais au dénominateur.

Le sens de a et b dans une situation

b est la valeur de départ, pour x = 0 : un forfait, un abonnement, une hauteur initiale. a est ce qui s’ajoute à chaque fois que x augmente de 1 : un prix par minute, une vitesse, un tarif par séance.

Exercice 1 : interpréter a et b

Un forfait de téléphone coûte 12 € par mois, plus 0,15 € par minute de communication hors forfait. On note x le nombre de minutes hors forfait.

  1. Exprimer le prix p(x).
  2. Calculer le prix pour 100 minutes.
  3. La fonction est-elle linéaire ?
Correction
  1. p(x) = 0,15x + 12 : a = 0,15 (prix d’une minute) et b = 12 (le forfait). L’ordre d’écriture ne change rien : 12 + 0,15x est la même fonction, et a est toujours le nombre qui multiplie x.
  2. p(100) = 0,15 × 100 + 12 = 15 + 12 = 27. Le prix est de 27 €.
  3. Non, car b = 12 ≠ 0. Le prix n’est pas proportionnel au nombre de minutes : 200 minutes coûtent 42 €, pas le double de 27 €.

La droite représentative

110B(0 ; −1)C(2 ; 3)

Droite de f(x) = 2x − 1. Un carreau = 1 unité.

  • b est l’ordonnée à l’origine : la droite coupe l’axe vertical en b. Ici, en −1 (point B).
  • a est le coefficient directeur : quand on avance de 1 vers la droite, on monte de a. Ici, de B à C, on avance de 2 et on monte de 4, soit a = 4 ÷ 2 = 2.
  • Si a > 0, la droite monte. Si a < 0, elle descend. Si a = 0, elle est horizontale.

Pour tracer une droite, deux points suffisent. Calcule deux images, par exemple f(0) = −1 et f(2) = 3, puis relie les points. Un troisième point sert de vérification.

Trouver a et b à partir de deux valeurs

Méthode

a = f(x₂) − f(x₁)x₂ − x₁ (variation des images divisée par la variation des antécédents). Puis on trouve b en remplaçant les coordonnées d’un point dans f(x) = ax + b.

Exercice 2

f est une fonction affine telle que f(2) = 5 et f(6) = −3. Déterminer f(x).

Correction
  1. a = −3 − 56 − 2 = −84 = −2.
  2. f(2) = 5 donne −2 × 2 + b = 5, donc b = 9.
  3. f(x) = −2x + 9. Vérification : f(6) = −12 + 9 = −3 ✓.

Comparer deux offres (classique du Brevet)

Exercice 3

Une piscine propose deux tarifs. Tarif A : 15 € la séance. Tarif B : une carte annuelle de 30 €, puis 9 € la séance. À partir de combien de séances le tarif B est-il plus avantageux ?

Correction

Pour x séances : A(x) = 15x (linéaire) et B(x) = 9x + 30 (affine).

Les deux tarifs sont égaux quand 15x = 9x + 30, soit 6x = 30 et x = 5. Pour 5 séances, les deux coûtent 75 €.

Pour 4 séances : A coûte 60 € et B coûte 66 €. A est moins cher. Pour 6 séances : A coûte 90 € et B coûte 84 €. B est moins cher. Le tarif B devient plus avantageux à partir de 6 séances. Sur un graphique, c’est l’abscisse du point d’intersection des deux droites qui marque le changement.

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Les erreurs les plus fréquentes

  • Dans 0,15x + 12, prendre 12 pour le prix par minuteb est la valeur pour x = 0 (le forfait). a multiplie x.
  • Dans 12 + 0,15x, dire que a = 12a n’est pas « le premier nombre écrit », c’est le coefficient de x.
  • Croire qu’une fonction affine avec b ≠ 0 est proportionnelleProportionnalité ↔ fonction linéaire ↔ droite passant par l’origine.
  • Calculer a = Δx ÷ ΔyC’est l’inverse : variation des images (verticale) ÷ variation des antécédents (horizontale).
  • Calculer a = y ÷ x avec un seul pointIl faut deux points, sauf si la fonction est linéaire.
  • Trouver a et oublier bRemplace les coordonnées d’un point dans y = ax + b.
  • Tracer une droite qui monte avec a < 0a négatif : la droite descend quand on va vers la droite.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre fonction affine et fonction linéaire ?

Une fonction linéaire s’écrit f(x) = ax. C’est une fonction affine avec b = 0. Elle modélise une proportionnalité, et sa droite passe par l’origine. Une fonction affine f(x) = ax + b avec b ≠ 0 ne passe pas par l’origine.

Comment trouver le coefficient directeur a ?

Avec deux points de la droite : a = (différence des ordonnées) ÷ (différence des abscisses). Sur un graphique, on avance de 1 carreau vers la droite et on compte de combien on monte (a positif) ou on descend (a négatif).

Comment savoir si un point est sur la droite ?

Calcule l’image de son abscisse. Pour le point M(4 ; 7) et f(x) = 2x − 1, f(4) = 7 : le point est sur la droite. Si tu trouves un autre nombre, il n’y est pas.

Une fonction affine peut-elle être constante ?

Oui, si a = 0 : f(x) = b pour tout x. Sa représentation est une droite horizontale.

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