MatheuxMaths 3e · Nombres et calculs
Puissances en 3e : les règles et la notation scientifique
Une puissance compte des facteurs : 2³ = 2 × 2 × 2. Toutes les règles de calcul découlent de cette idée. Si tu l’as en tête, tu n’as presque rien à apprendre par cœur. Cours, exemples et pièges classiques.
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Mis à jour le 26 septembre 2026 · par Nicolas Follezou, fondateur de Matheux
Définition
À retenir
- aⁿ = a × a × … × a (n facteurs). a est la base, n l’exposant.
- a¹ = a et a⁰ = 1 (pour a ≠ 0).
- a⁻ⁿ = 1aⁿ : un exposant négatif donne un inverse, pas un nombre négatif.
Attention aux signes : (−3)² = (−3) × (−3) = 9, mais −3² = −(3 × 3) = −9. La parenthèse change tout. Une puissance paire d’un nombre négatif est positive, une puissance impaire est négative : (−2)³ = −8.
Et avec les décimaux : 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09, pas 0,9.
Les règles de calcul
| Règle | Exemple | Pourquoi |
|---|---|---|
| aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | 2³ × 2⁴ = 2⁷ | 3 facteurs puis 4 facteurs : 7 facteurs |
| aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | 5⁶ ÷ 5² = 5⁴ | on simplifie 2 facteurs en haut et en bas |
| (aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ | (10²)³ = 10⁶ | 3 fois le bloc de 2 facteurs |
Ces règles ne valent que pour la multiplication et la division de puissances de même base. Il n’existe pas de règle pour une somme : 2³ + 2⁴ = 8 + 16 = 24, ce n’est pas 2⁷.
Puissances de 10
- 10ⁿ s’écrit avec un 1 suivi de n zéros : 10⁵ = 100 000.
- 10⁻ⁿ a le 1 au n-ième rang après la virgule : 10⁻³ = 0,001.
Les préfixes d’unités en sont directement tirés : kilo = 10³, méga = 10⁶, giga = 10⁹, milli = 10⁻³, micro = 10⁻⁶, nano = 10⁻⁹. Un disque de 2 To (téraoctets) contient 2 × 10¹² octets.
Notation scientifique
Définition
Un nombre est en notation scientifique s’il s’écrit a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10 (un seul chiffre non nul avant la virgule) et n entier.
- 150 000 000 = 1,5 × 10⁸ : la virgule s’est déplacée de 8 rangs vers la gauche.
- 0,000 08 = 8 × 10⁻⁵ : un nombre plus petit que 1 a un exposant négatif.
- 0,5 × 10³ ou 45 × 10² ne sont pas en notation scientifique : on réajuste en 5 × 10² et 4,5 × 10³.
Pour comparer deux nombres en notation scientifique, on compare d’abord les exposants : 1,5 × 10⁸ > 7,8 × 10⁷, même si 1,5 est plus petit que 7,8.
Exercices corrigés
Exercice 1 : appliquer les règles (sans calculatrice)
Écrire sous la forme d’une seule puissance : A = 2³ × 2⁴ ; B = 10⁻²10⁻⁵ ; C = (10²)³ × 10⁻⁴.
A = 2³⁺⁴ = 2⁷ (soit 128). On garde la base 2 : ce n’est pas 4⁷.
B = 10⁻²⁻⁽⁻⁵⁾ = 10⁻²⁺⁵ = 10³. Le piège est dans la soustraction d’un nombre négatif.
C = 10⁶ × 10⁻⁴ = 10².
Exercice 2 : calculer en notation scientifique
Donner l’écriture scientifique de D = (3 × 10⁴) × (5 × 10⁻⁷).
On regroupe les nombres et les puissances de 10 : D = (3 × 5) × (10⁴ × 10⁻⁷) = 15 × 10⁻³.
15 n’est pas entre 1 et 10 : 15 = 1,5 × 10¹, donc D = 1,5 × 10⁻².
Exercice 3 : problème (type Brevet)
La distance Terre–Soleil est d’environ 1,5 × 10⁸ km. La lumière parcourt environ 3 × 10⁵ km par seconde. Combien de temps met la lumière du Soleil pour nous parvenir ?
Temps = distance ÷ vitesse : 1,5 × 10⁸3 × 10⁵ = 0,5 × 10³ = 500 secondes.
500 s = 8 × 60 s + 20 s. La lumière met environ 8 minutes et 20 secondes.
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Les erreurs les plus fréquentes
- 2³ = 6 ou 10⁵ = 50L’exposant compte les facteurs : 2³ = 2 × 2 × 2 = 8.
- 9² = 18Carré ≠ double : 9² = 9 × 9 = 81.
- (−3)² = −9(−3) × (−3) = 9. C’est −3² qui vaut −9.
- 2³ × 2⁴ = 2¹²On additionne les exposants dans un produit : 2⁷.
- 2³ × 2⁴ = 4⁷La base ne change pas.
- 10⁻³ = −100010⁻³ = 1/1000 = 0,001 : un nombre positif très petit.
- 0,000 08 = 8 × 10⁵Nombre plus petit que 1 : exposant négatif, 8 × 10⁻⁵.
- 7,8 × 10⁷ > 1,5 × 10⁸ « car 7,8 > 1,5 »On compare d’abord les exposants.
Les puissances au Brevet
Les puissances apparaissent surtout dans la partie automatismes, sans calculatrice : écrire un nombre en notation scientifique, simplifier un produit de puissances de 10, reconnaître un préfixe. Dans les problèmes, elles servent pour les grandes et les petites grandeurs (astronomie, biologie, informatique). Elles sont aussi un prérequis caché de Pythagore : confondre carré et double y fait perdre des points chaque année.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre (−2)² et −2² ?
(−2)² = (−2) × (−2) = 4 : la parenthèse indique que le signe est élevé au carré. −2² = −(2 × 2) = −4 : seul le 2 est au carré, le signe moins reste devant.
Combien vaut un nombre à la puissance 0 ?
Tout nombre non nul à la puissance 0 vaut 1. Par exemple 10⁰ = 1 et 7⁰ = 1. C’est cohérent avec la règle du quotient : 5² ÷ 5² = 5⁰, et c’est aussi 25 ÷ 25 = 1.
Comment écrire un nombre en notation scientifique ?
Place la virgule juste après le premier chiffre non nul, puis compte de combien de rangs tu l’as déplacée. Vers la gauche, l’exposant est positif (grand nombre). Vers la droite, il est négatif (nombre plus petit que 1). Exemple : 0,0042 = 4,2 × 10⁻³.
Un exposant négatif donne-t-il un nombre négatif ?
Non. 10⁻² = 1/100 = 0,01, qui est positif. Un exposant négatif donne l’inverse d’une puissance.